セブン-イレブンの「Ｚ会監修 全国高校対抗 超良問ドリル５ デコ活編」の答えについて。
第5問 (最終問題)の数学でてこずっている人が多いようです。
セブン-イレブン超良問プラス5 デコ活編の問題｜数学(第5問)は?Ｚ会監修 全国高校対抗
セブン-イレブンと株式会社Z会が共同で開催する「超良問ドリル」は、全国の高校生を対象とした夏限定の学習イベントです。2024年も7月9日から7月22日までの期間で開催され、昨年同様、高校生が夏休みに学習意欲を高め、思考力や問題解決力を養う機会を提供します。
第5問 (最終問題)の数学の問題は
2020年10月、 政府は2050年までに温室効果ガスの排出を全体としてゼロにする 「カーボンニュートラル」を目指すことを宣言しました。
では、「2050」 を含む次の不等式を満たす最大の整数nは?
ただし、たとえば 「2^3」 は、 「2の3乗 (2×2×2)」を表します。
2×3+3×4+4×5+..+nx (n+1) < 2050
セブン-イレブン超良問プラス5 デコ活編の答え｜数学(第5問)は?Ｚ会監修 全国高校対抗
まず、前提として。
1+2+3+…+n=n(n+1)/2
12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
これらの公式を使います。
2×3+3×4+4×5+…n(n+1)
=2×(2+1)+3×(3+1)+4×(4+1)+…+n(n+1)
=22+2+32+3+42+4+…+n2+n
=(12+22+32+…n2-12)+(1+2+3+…+n-1)
=n(n+1)/2+n(n+1)(2n+1)/6-2<2050 n(n+1)/2+n(n+1)(2n+1)/6<2052 3n(n+1)+n(n+1)(2n+1)<12312 3n2+3n+2n3+3n2+n<12312 2n3+6n2+4n<12312 n3+3n2+2n<6156 n(n+1)(n+2)<6156 左辺はn>1において単調増加なので適当に代入する
15×16×17=4080
16×17×18=4896
17×18×19=5814
18×19×20=6840
以上より、最大のnはn=17
セブン-イレブン超良問プラス5 デコ活編の答え解説｜数学(第5問)は?Ｚ会監修 全国高校対抗
■式の変形
まず、問題文の式を以下の様に変形します。
2x^3 + 3x^4 + 4x^5 + … + nx(n+1) = 2(x^2 + x) + 3(x^3 + x^2) + 4(x^4 + x^3) + … + n(x^{n+1} + x^n)
■二乗和の利用
次に、前提知識で紹介した二乗和の公式を用いて、上記式を以下の様に書き換えます。
2(x^2 + x) + 3(x^3 + x^2) + 4(x^4 + x^3) + … + n(x^{n+1} + x^n) = 2x^2 + 2x + 3x^3 + 3x^2 + 4x^4 + 4x^3 + … + nx^{n+1} + nx^n
■項の整理
さらに、同項をまとめると、以下の式になります。
2x^2 + 2x + 3x^3 + 3x^2 + 4x^4 + 4x^3 + … + nx^{n+1} + nx^n = (x^2 + 2x^3 + 3x^4 + … + nx^{n+1}) + (2x + 3x^2 + 4x^3 + … + nx^n)
■式の分離
左辺と右辺をそれぞれ2で割ると、以下の様になります。
x^2 + x^3 + x^4 + … + x^{n+1} + x + x^2 + x^3 + … + x^n = x(x^n + x^{n-1} + … + x + 1) + (x + x^2 + x^3 + … + x^n)
■因数分解
さらに、左辺と右辺の共通項をそれぞれ取り出すと、以下の様になります。
x(x^n + x^{n-1} + … + x + 1) + (x + x^2 + x^3 + … + x^n) = x(x^n + 1) + (x + x^2 + x^3 + … + x^n)
■式の整理
上記式をさらに整理すると、以下の様になります。
x(x^n + 1) + (x + x^2 + x^3 + … + x^n) = x^n+1 + x + x^2 + x^3 + … + x^n
■公式の利用
前提知識で紹介した公式を用いて、上記式を以下の様に書き換えます。
x^n+1 + x + x^2 + x^3 + … + x^n = x^n+1 + n(n+1)/2
■不等式の変形
問題文の不等式に代入すると、以下の様になります。
x^n+1 + n(n+1)/2 < 2050
■解答
上記不等式を解くと、n = 17 となります
セブン-イレブン超良問プラス5 Ｚ会監修 全国高校対抗について
セブン-イレブンと株式会社Z会が共同で開催する「超良問ドリル」は、全国の高校生を対象とした、夏休みの学習イベントです。東大・京大をはじめとする難関大学の受験に高い実績を誇るZ会の専門スタッフが監修した「超良問」と呼ばれる難問に挑み、知識と思考力を鍛えることができます。
2024年7月9日から7月22日までの期間で開催される今年の「超良問ドリル」は、「デコ活」をテーマとした問題が出題されます。「デコ活」とは、2050年までにカーボンニュートラルを実現するため、脱炭素と豊かな生活の実現に取り組む国民運動の愛称です。ごみを分別することや食べ物を残さないことなど身近なところから始められる活動は多く、高校生に環境問題を身近に感じてもらうために「デコ活」をテーマにした問題が出題されています。
セブン-イレブン超良問プラス5 デコ活編イベント概要
期間: 2024年7月9日（火）～7月22日（月）
対象: どなたでもご参加いただけます
内容:
標準的な高校1年生までの主要5教科（国語、数学、理科、社会、英語）に加え、「デコ活」に関する問題が出題されます。
問題はすべて、難関大学の受験に高い実績を誇るZ会の専門スタッフが監修。知識だけでなく、思考力や問題解決力を問う「超良問」ばかりです。
5問連続正解すると、大塚製薬提供の「SOYJOY」1個と引き換えられるクーポンがもらえます。
5問連続正解した高校は、全国高校ランキングに掲載されます。ランキング上位10校には、全校生徒分の「SOYJOY」がプレゼントされます。
