sin(2x)の微分積分の答えは？解法・解き方は？

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2022.09.16

sin(2x)を微分積分するとそれぞれ答えはどうなるんでしょうか？

sin2xをxで微分・積分する解法・解き方は？

sin(2x)の積分の答えは？解法・解き方は？

sin(2x)を積分する解法・解き方として

置換積分法
加法定理

を使うやり方があります。

g(x)=tとおくと、
∫f(g(x))dx=∫f(t)・dx/dt・dt

<解答>
∫sin2xdx

2x=tとおく。
両辺tで微分すると
2・dx/dt=1
dx/dt=1/2

よって
∫sin2xdx=∫sint・1/2・dt
=1/2・∫sintdt
=-(1/2)cost+C
=-(1/2)cos2x+C(Cは積分定数)…(答)

参考：この置換積分法から

∫f(ax+b)dx=(1/a)F(ax+b)+C
(F(x)はf(x)の原始関数のひとつ)

という公式が導かれます。

○三角関数の積分法
∫sinx dx=-cosx+C
∫cosx dx=sinx+C
∫dx/cos^2 x=tanx+C
(Cはいずれも積分定数)

sin関数の加法定理は

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

となっています。

sin(2x)

=sin(x + x)

=sin(x)cos(x)＋cos(x)sin(x)

=2sin(x)cos(x)

よって、2sin(x)cos(x)を積分する場合、関数の積の積分 (部分積分法)から

∫2sin(x)cos(x)dx

= [-2cos(x)cos(x)] + ∫2sin(x)sin(x)dx

= [-2cos~2(x)] + 2∫sin~2(x)dx

= [-2cos~2(x)] + 2∫(1 – cos(2x))/2dx

= [-2cos~2(x)] + [x – sin(2x)/2]

として求めることができます。

sin(2x)の微分の解法・解き方は合成微分を使います。

答えは

(sin2x) ‘

=cos2x*(2x) ‘

=2cos2x

となります。