高校数学の複素数平面の分野で「arg」が出てきますが、argの意味は？
ガウス平面の偏角とされるargについて、具体例を挙げて解説しています。
複素数でargとは？ガウス平面の偏角？
「arg」は、高校数学の複素数平面の分野において、複素数の偏角（へんかく）を表す記号です。偏角は、複素数を極座標形式で表す際に使用される角度のことを指します。
複素数は、実数部と虚数部からなる数の組み合わせであり、複素平面上の点として表現することができます。複素数 z の極座標形式では、z = r(cosθ + isinθ)と表されます。ここで、rは複素数の大きさ（絶対値）、θは偏角です。
偏角は、複素数の極座標形式で表現されたとき、x軸から反時計回りに測った角度です。一般的には、偏角は[-π, π]の範囲で表されます。ここで、「arg」は、偏角を表す記号として使用されます。
具体的な使用例としては、「arg(z)」は、複素数 z の偏角を表します。
複素数平面の偏角・argの具体例
例として、複素数 z = 3 + 4i を考えます。この複素数を極座標形式で表すためには、まず複素数の大きさ（絶対値）と偏角を求める必要があります。
複素数の大きさ（絶対値）は、次のように求められます。
｜r｜ = √(実数部の2乗 + 虚数部の2乗)
= √(3^2 + 4^2)
= √(9 + 16)
= √25
= 5
次に、偏角を求めるためには、以下の式を用います。
θ = arctan(虚数部 / 実数部)
= arctan(4 / 3)
= 約0.93 (ラジアン)
ここで、「arg(z)」を使用して偏角を表すと、arg(z) = 0.93 となります。偏角はラジアンで表されることが一般的です。
この例では、複素数 z = 3 + 4i の偏角は約 0.93 ラジアン（約 53.13 度）であり、複素数平面上で x 軸から反時計回りに 0.93 ラジアンの位置に存在することを示しています。
複素数平面の偏角・argと三角関数の関係
複素数のarg（偏角）と三角関数には密接な関係があります。具体的には、複素数のargを求めるために三角関数を使用します。
複素数 z を極座標形式で表すと、z = r(cosθ + isinθ)となります。ここで、rは複素数の大きさ（絶対値）、θは偏角です。
偏角 θ を求めるためには、三角関数の逆関数である逆正接（arctan）を使用します。具体的には、以下の関係が成り立ちます。
θ = arctan(虚数部 / 実数部)
この関係を使って、複素数の偏角を求めることができます。
また、偏角を求めた後には、三角関数を使用して複素数を表現することもできます。具体的には、オイラーの公式を利用します。
複素数 z = r(cosθ + isinθ)は、オイラーの公式によって以下のように表現することもできます。
z = r * e^(iθ)
ここで、eは自然対数の底（ネイピア数）であり、iは虚数単位です。この形式では、複素数を指数関数として表現することができます。
このように、複素数のarg（偏角）と三角関数は、複素数の極座標形式やオイラーの公式を通じて密接に関連しています。
まとめ：複素数でargとは？ガウス平面の偏角？
複素数平面のargは、複素数が表す点の動径が表す一般角のこと。実軸の正の向きから反時計回りに何度回ったかを表す角。
例えば、複素数z=1+iの偏角はarg(1+i)=π/4である。これは、複素数z=1+iが表す点は、実軸の正の向きから反時計回りにπ/4の角度を成しているためである。
複素数の偏角は、複素数の乗除を簡明に行うために使用される。例えば、複素数z1=1+iとz2=2-iの積は、
z1z2=(1+i)(2-i)=3-i
である。このとき、複素数z1z2の偏角は、複素数z1の偏角と複素数z2の偏角の和であるπ/4+π/2=3π/4である。
複素数の偏角は、複素数の複素数平面上での位置を示すためにも使用される。例えば、複素数z=x+yiの偏角がarg(z)=θであるとき、複素数zは、実軸の正の向きから反時計回りにθの角度を成す点に位置する。
複素数平面のargの意味を中学生でも分かるように説明すると、複素数平面上で複素数が表す点の動径が表す一般角のこと、つまり複素数平面上で複素数が表す点が実軸の正の向きから反時計回りに何度回ったかを表す角のこと、と言えます。
例えば、複素数z=1+iは、実軸の正の向きから反時計回りにπ/4回転した位置に表されます。したがって、その偏角はarg(1+i)=π/4です。
複素数z=1-iは、実軸の正の向きから反時計回りに-π/4回転した位置に表されます。したがって、その偏角はarg(1-i)=-π/4です。
複素数z=iは、実軸の正の向きから反時計回りにπ/2回転した位置に表されます。したがって、その偏角はarg(i)=π/2です。
複素数z=-iは、実軸の正の向きから反時計回りに-π/2回転した位置に表されます。したがって、その偏角はarg(-i)=-π/2です。
複素数z=0は、実軸の正の向きと一致する位置に表されます。したがって、その偏角はarg(0)=0です。
例題：複素数でargとは？ガウス平面の偏角？
複素数 z = 2 + 2i の偏角を求めよ。
解法:
まず、複素数 z の実数部と虚数部を取得します。与えられた複素数 z = 2 + 2i では、実数部は 2 で虚数部も 2 です。
次に、偏角を求めるために以下の式を使用します:
θ = arctan(虚数部 / 実数部)
具体的に計算してみましょう。
θ = arctan(2 / 2)
= arctan(1)
= 約0.785 (ラジアン)
したがって、複素数 z = 2 + 2i の偏角は約 0.785 ラジアン（約 45 度）となります。
このようにして、与えられた複素数の実数部と虚数部を用いて偏角を求めることができます。
