自然数に0は入る？入らない？
数学のレポートで「自然数を0に含めるか否か」という問題にはどのように答えると正解なんでしょうか？
0はなぜ自然数？整数に0は入る？高校までの数学で自然数に0を含めない理由は？
結論から言うと、整数には０が含まれます。整数は、「負の整数」「０」「正の整数」の集合であり、０はその中に含まれる数です。
自然数には０は含まれません。自然数は１以上の整数の集合であり、０は含まれません。
自然数
自然数は１から始まり無限に存在する整数の集合です。例えば、1, 2, 3, 4, 5, … と続きます。任意の自然数どうしの加算と乗算の結果は必ず自然数となりますが、減算と除算の結果は自然数とは限りません。
整数
整数は０、および正の方向へ無限に存在する整数、および負の方向へ無限に存在する整数の集合です。例えば、… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … と続きます。任意の整数どうしの加算と減算と乗算の結果は必ず整数となりますが、除算の結果は整数とは限りません。
有理数
有理数は整数の比を使って表せる数の集合です。例えば、1/2（0.5）、1/3（0.3333…）などが有理数です。整数は分母が１の分数とみなせるため、全ての整数も有理数です。任意の有理数どうしの加算と減算と乗算と除算の結果は必ず有理数となります。
無理数
無理数は整数の比では表せない数の集合です。例えば、2の平方根やe（自然対数の底）などが無理数です。無理数は有理数ではないため、循環しない無限の小数として表されます。
実数
実数は有理数と無理数の両方の集合です。つまり、実数には有理数も無理数も含まれます。整数、有理数、無理数は実数の一部です。
まとめ：0はなぜ自然数？整数に0は入る？高校までの数学で自然数に0を含めない理由は？
「なぜ自然数に整数0が含まれないのか？！？」という問いに答えることを目標とします。この目標を達成するために、まずは自然数を直感的に覚える方法をマスターしましょう。
■自然数は指を使って数えられる！？？
教科書や辞書を駆使しても「自然数」をスッキリ理解することはできません。
自然数の意味を直感的にとらえる方法はただ1つ。それは、
指をつかって数えることができるかどうか？？
です。
自然数 整数0
とにかく、人間の手の指で数えられるかどうか？？ これが自然数か否かを決定する1つの評価基準となっています。
したがって、両手をつかって数えることができる「9」も自然数ですし、10人の手を集めて数えられる「99」だって自然数だというわけです。
■整数0は自然数ではない！！
それでは、整数の0は自然数なのでしょうか？
先ほどの自然数の判断基準である、
手で数えられるかどうか？
という観点で考えてみるとどうでしょうか？ そうです。整数0は指をつかって数えることができないのです。
え！？ 手がない状態をゼロとすりゃいいじゃないか！？
という反論が聞こえてきそうです。ただ、ここでの判断基準は、「手で」数えられるかどうか、でしたね。
つまり、手がない状態というのは「手で」数えなくても数えられてしまいます。マッチ棒を使ってもうまい棒をつかってもゼロを表現できることになります。
したがって、自然数には整数0は含まれません！
その理由は、
指で数えられないから
です。
昔は１から自然数を始めるのが普通だったけれども、だんだんと０を含めて研究をすることが増えてきて、２つの流儀が出来てしまったようです。結局０が自然数か自然数ではないかはその時の定義の問題で、どちらが正しいかというものではない、ということのようです。
