高校数学で独立試行と反復試行の違いは？
独立試行と反復試行はどのように見分けると良いんでしょうか？
高校数学｜独立試行と反復試行の違い・見分け方
独立試行とは、それぞれの試行が他のどの試行にも影響を与えない試行です。一方、反復試行とは、同じ試行を何度も繰り返す試行です。
例えば、サイコロを振って表を出すことや、コインを投げて表を出すことなどは、独立試行です。なぜなら、サイコロを振った結果がコインを投げた結果に影響を与えないからです。また、赤3個、白3個の玉を袋から取り出す試行も、独立試行です。なぜなら、取り出した玉を袋に戻すので、次の試行に影響を与えないからです。
一方、赤3個、白3個の玉を袋から取り出す試行で、取り出した玉を袋に戻さない場合は、独立試行ではありません。なぜなら、取り出した玉を袋に戻さないので、次の試行に影響を与えるからです。
反復試行の定理とは、n回の独立試行を反復するとき、1回の試行で事象Aの起こる確率がpならば、事象Aがちょうどn回中r回起こる確率は、nCr(pのr乗)(qの[n-r]乗)で表されます。ただし、q=1-p、0≦r≦nです。
反復試行の定理は、独立試行の場合にしか成り立ちません。独立でない試行の場合は、反復試行の定理は使えません。
独立試行
複数の試行をするとき、それぞれの試行が他の試行に影響を与えない場合を指します。つまり、一つの試行の結果が次の試行に影響を与えないとき、それらは独立試行です。
例えば、サイコロを振って6が出る試行とコインを投げて表が出る試行は、互いに影響を与えないので独立試行です。また、「赤3個、白3個の玉を袋から取り出す。取った玉は戻す」という試行も、1回目の結果が2回目に影響を与えないため、独立試行です。
反復試行
同じ試行を何度も繰り返すことを指します。
例えば、同じ袋から「赤3個、白3個の玉を取り出す。取った玉は戻す」試行を何度も繰り返す場合や、「赤3個、白3個の玉を袋から取り出す。取った玉は戻さない」試行を何度も繰り返す場合、どちらも同じ試行をくり返すことになります。これらは反復試行です。
反復試行の定理に注意｜独立試行と反復試行の違い・見分け方
「反復試行の定理」 には注意が必要です。この定理は、n回の独立試行を反復する場合に、事象Aがちょうどr回起こる確率を計算する公式です。この定理は、独立試行の場合に適用されるものであり、すべての試行が互いに影響を与えない場合に成り立ちます。
例えば、袋から玉を戻す独立試行の場合はこの定理が使えます。しかし、玉を戻さない場合は、2回目以降の確率が変化するため、この定理は使えません。そのため、教科書によっては「独立試行の定理」や「独立試行反復の定理」として扱われることもあります。
独立試行と反復試行の違い・見分け方の具体例
独立試行の具体例
サイコロを1個投げる試行とコインを1枚投げる試行を考えてみましょう。
サイコロを1個投げる試行：サイコロの1の目が出る確率は6分の1です。これは他の試行、例えばコインを投げる試行には影響を与えません。サイコロが1の目であるかどうかに関係なく、コインの表が出る確率は変わりません。
コインを1枚投げる試行：コインの表が出る確率は2分の1です。これも他の試行、例えばサイコロを投げる試行には影響を与えません。コインが表であるかどうかに関係なく、サイコロのどの目が出るかも変わりません。
このように、それぞれの試行が互いに影響を与えず、結果が独立している場合、これらの試行は独立試行です。
反復試行の具体例
サイコロを1回投げる試行を何度も繰り返す場合を考えてみましょう。
サイコロを1回投げる試行を2回繰り返す：最初の試行でサイコロの1の目が出る確率は6分の1です。次に同じサイコロをもう一度投げると、再び1の目が出る確率は6分の1です。最初の試行の結果が次の試行に影響を与えません。このように同じ試行を何度も繰り返す場合、これは反復試行です。
サイコロを1回投げる試行を3回繰り返す：同様に、最初の試行の結果が次の試行に影響せず、同じ試行を何度も繰り返す場合も、これは反復試行です。
まとめ：高校数学｜独立試行と反復試行の違い・見分け方
独立試行とは、前の試行の結果が次の試行に影響を与えない試行です。
例えば、サイコロを1回振って表が出たら、次にサイコロを振っても表が出る可能性は1/6です。これは、前の試行の結果が次の試行に影響を与えないからです。
反復試行とは、同じ試行を何度も繰り返す試行です。
例えば、サイコロを3回振る試行は、反復試行です。この場合、最初の試行、2回目の試行、3回目の試行はすべて独立試行です。しかし、3回すべての試行を合わせると、反復試行になります。
独立試行と反復試行の違いは、次のとおりです。
- 独立試行では、前の試行の結果が次の試行に影響を与えない。
- 反復試行では、同じ試行を何度も繰り返す。
独立試行と反復試行は、確率の問題を解くときによく使われます。例えば、サイコロを3回振って、少なくとも1回1の目が出る可能性を求めるときは、独立試行の考え方を使います。また、サイコロを10回振って、1回以上6の目が出る可能性を求めるときは、反復試行の考え方を使います。
独立試行と反復試行は、確率の問題を解くための重要な概念です。これらの概念を理解することで、確率の問題をより簡単に解くことができるようになります。
