円周率なぜ終わらないんでしょうか？割り切れない理由は？
円周率はなぜ無限に続くと分かるのでしょうか？終わりは本当にないのでしょうか？
円周率なぜ終わらない？
円周率は、円の直径に対する円周の長さの比率です。この比率は、どんな大きさの円でも同じで、約3.14という値になります2。
しかし、この値は約であって、正確には終わりがありません。つまり、無限小数です2。
なぜ終わりがないかというと、数式を使わずに論理的に解説することは難しいですが、一つの考え方としては以下のようなものがあります。
もし円周率が終わりがある小数だったら、分数で表すことができます。例えば、3.14だったら314/100という分数になります。
しかし、分数で表すことができる小数は有理数と呼ばれるもので、その性質から無限循環小数になることが証明されています。例えば、1/7だったら0.142857142857…というように循環します。
一方、円周率は無限循環小数ではありません。どこかから同じ数字やパターンが繰り返されることはありません。
したがって、円周率は分数で表すことができず、有理数ではなく無理数です。無理数は終わりがない小数です。
以上が円周率に終わりがない理由の一つです。
ちなみに円周率の3.14に続く数字は、現在何桁まで分かっているのかというと62兆8000億桁だそうです
円周率なぜ割り切れない・無限に続く理由は？
円周率は、円の周長を直径で割った数です。
円周率は、どんな大きさの円でも同じ値になります。この値は、3.14や3.14159といった近似値で表されることが多いですが、実は終わりのない無限小数です。
では、なぜ円周率に終わりがないのでしょうか？
円周率を求めるには、円の周長と直径を測って割り算する必要があります。
しかし、円の形は曲線なので、正確に測ることが難しいです。どんなに細かく測っても、少しでも誤差が出てしまいます。
そのため、円周率を求める計算式も完全ではありません。どんなに複雑な式でも、近似値しか出せません。
つまり、円周率は正確に表すことができない数なのです。だから終わりがありません。
まとめ：円周率なぜ終わらない？割り切れない・無限に続く理由は？
円周率が無理数であることを証明するのは、高校数学レベルでも可能です。
一つの方法としては、イヴァン・ニーベンという数学者が1947年に発表したものがあります3。この方法では、以下のような手順で証明します。
円周率が有理数だと仮定する。つまり、π=p/qという分数で表せるとする。
0からπまでの区間で、sin(qx)という関数を考える。
sin(qx)をq回微分すると、sin(qx)に比例した関数になることを示す。
sin(qx)をq回積分すると、sin(qx)に比例した関数になることを示す。
sin(qx)をq回微分してからq回積分すると、元のsin(qx)に戻ることを示す。
しかし、この操作は0からπまでの区間で積分定数が変わらないことも示す必要がある。
そのためには、0からπまでの区間でsin(qx)=0となる点が存在しないことを示す必要がある。
しかし、これは矛盾である。なぜなら、sin(qπ)=0だからである。
よって、円周率が有理数だと仮定したことが誤りであり、円周率は無理数である。
以上が円周率が無理数であることの証明の一つです。
参考：円周率なぜ終わらない？割り切れない証明｜阪大入試問題
阪大入試問題の円周率の証明方法は、以下のようなものです。
円周率が有理数だと仮定する。つまり、π=p/qという分数で表せるとする。
0からπまでの区間で、f(x)=x(π-x)sin(qx)という関数を考える。
f(x)をq回微分すると、f(x)に比例した関数になることを示す。
f(x)をq回積分すると、f(x)に比例した関数になることを示す。
f(x)をq回微分してからq回積分すると、元のf(x)に戻ることを示す。
しかし、この操作は0からπまでの区間で積分定数が変わらないことも示す必要がある。
そのためには、0からπまでの区間でf(x)=0となる点が存在しないことを示す必要がある。
しかし、これは矛盾である。なぜなら、f(0)=f(π)=0だからである。
よって、円周率が有理数だと仮定したことが誤りであり、円周率は無理数である。
