虚数(複素数)は現実に存在しないのでイメージしずらいものがありますが、何の役に立つんでしょうか？
虚数を勉強して日常生活や実社会で何の役に立つ？
虚数(複素数)は何の役に立つ？目的は？実社会や日常生活、人生・仕事で場面・事例は？
虚数(複素数)を学んでもほとんどの人にとって直接的には役に立ちません。
計算を仕事にする人等以外には。一般的に、虚数を学んでも今後の人生で使う事はまず無いでしょう。
虚数が必要になってくるのは、理工系の学生です。特に、身近な例だと、携帯電話などの電波では、虚数単位が微積に現れてきます。（ラプラスを筆頭とする各種積分変換は、必ずと言っていいほど虚数単位が出てきます）
虚数はスマホの発振回路やアンテナ回路などは高周波回路設計に利用されています。
その際、雑音対策で浮遊容量、コイル成分のインピーダンスは虚数で計算します。また、量子力学の波動方程式の解は複素関数です。
虚数なしでも設計はできるのかもしれませんが、虚数を使うことで、より少ない計算量で設計することができます。
虚数を使って電子の振る舞いがよく理解できる（記述できる）ようになり、結果として様々な電気回路が設計されるようになりました。
レーザーやトンネルダイオードに応用されています。
虚数はxy平面にありませんが、複素平面にあります。
例えば、マイナス１個のリンゴは存在しますか？
実数も物理的には存在しませんが、マイナスと言う概念を追加することによって数直線の演算を、直線的な動きと対応させることができるようになります。
虚数も物理的には存在しませんが、実数直線と直交する虚数直線と言う概念を追加することによってガウス平面の演算を、回転する動きと対応させることができるようになります。
プラス×マイナス=プラス
マイナス×マイナス=プラスでした。
つまりマイナスを掛ければ0を中心に180度回転される、と解釈できます。 ところでi2=-1でした。
つまりi2で180°回転、つまりつまり、iは1回掛けると90度回転します。 時計回りと反時計回りがありますが適当に反時計回りと決めるとiは0の上にあることがわかります。
下に決めても構造的には一緒です。
こうして平面ができる…というのはイメージできるでしょうか？実数が数直線なら虚数は平面です。複素平面と言います。
イメージできたとして現実世界に対応できないと思うかもしれないので一つ示しておきます。
一番簡単なのが平面地図です。
北を+i,南を-i,東を+,西を-とすると
(4-3i)メートルは東に4m、南に3m行って辿り着く点そのものです。ベクトルと考えてもいいでしょう。
足し算引き算も多分大丈夫でしょう。
問題は掛け算です。
2×3m=6mですね。3m東に動くのを2回繰り返しました。
-2×3m=-6mですね。これは3m西に動くのを2回繰り返しました。
i×3m=3im。これは東に3mを、反時計回りに90°回転しています。つまり北に3m進んでいます。
i×im=-1mも同様に、北に1mを反時計回りに90°回転して、西に1m行くという操作に変換します。
ちなみに、高度な物理的な立場でいうと、虚数の実在性は量子力学によって示されています。
認めない立場も有りますが、その立場を突き詰めると、そもそも全ての「数」は実在しないと言えます。
