石取りゲームの必勝法はある？
石取りゲームの勝ち方について、数学的に証明できる？
石取りゲームの必勝法・勝ち方は？勝つコツは？
石取りゲームの必勝法は、次の法則です。
- 石の総数が 4 の倍数 + 1 のときは、後手必勝です。
- 石の総数が 4 の倍数、4 の倍数 + 2、4 の倍数 + 3 のときは、先手必勝です。
後手必勝の場合は、相手の取った石の数との和が 4 になるように石を取ります。
先手必勝の場合は、最初に石の総数を 4 の倍数 + 1 にします。そのあとは、相手の取った石の数との和が 4 になるように石を取ります。
例えば、石の総数が 10 のとき、後手必勝です。相手の取った石の数との和が 4 になるように石を取ります。相手の取った石の数を 1 とすると、後手は 3 個の石を取ります。相手の取った石の数を 2 とすると、後手は 2 個の石を取ります。相手の取った石の数を 3 とすると、後手は 1 個の石を取ります。
例えば、石の総数が 9 のとき、先手必勝です。最初に石の総数を 4 の倍数 + 1 にします。石の総数を 10 にするために、3 個の石を取ります。そのあとは、相手の取った石の数との和が 4 になるように石を取ります。相手の取った石の数を 1 とすると、先手は 3 個の石を取ります。相手の取った石の数を 2 とすると、先手は 2 個の石を取ります。相手の取った石の数を 3 とすると、先手は 1 個の石を取ります。
石取りゲームの必勝法・勝ち方の証明
石取りゲームの必勝法について数学的な証明を行います。
まず、石の総数をNとし、Nが4の倍数+1の形式で表される場合を考えます。つまり、N = 4n + 1と表せる整数nが存在します。
■N = 4n + 1の場合（後手必勝）：
先手が取る石の数をaとすると、後手が取る石の数は(4 – a)です。先手と後手の取る石の数の和は4になるため、(4 – a) + a = 4です。
次に、先手が最初に取った後に残る石の数を考えます。先手がa個の石を取ると、残る石の数はN – a = 4n + 1 – aです。
後手は(4 – a)個の石を取ることになります。残る石の数は先手が取った後の数から(4 – a)個を取ったものです。つまり、後手が取る後に残る石の数は (4n + 1 – a) – (4 – a) = 4nです。
このように、先手が取る後に残る石の数は4nになります。そして、先手と後手が取る石の数の和は4になります。
後手は常に先手の手番で4n個残るように石を取ることができます。最後には先手の手番で1個だけ石が残りますので、後手が最後の1個を取ることができます。したがって、後手は必ず勝つことができます。
■N = 4n, 4n + 2, 4n + 3の場合（先手必勝）：
先手が最初に取る石の数をaとすると、後手が取る石の数は(4 – a)です。先手と後手の取る石の数の和は4になるため、(4 – a) + a = 4です。
次に、先手が最初に取った後に残る石の数を考えます。先手がa個の石を取ると、残る石の数はN – aです。
後手は(4 – a)個の石を取ることになります。残る石の数は先手が取った後の数から(4 – a)個を取ったものです。つまり、後手が取る後に残る石の数は (N – a) – (4 – a) = N – 4です。
このように、先手が取る後に残る石の数は4の倍数になります。そして、先手と後手が取る石の数の和は4になります。
先手は常に後手の手番で4の倍数個残るように石を取ることができます。最後には後手の手番で1個だけ石が残りますので、先手が最後の1個を取ることができます。したがって、先手は必ず勝つことができます。
以上のように、Nが4の倍数+1の場合は後手必勝であり、Nが4の倍数、4の倍数+2、4の倍数+3の場合は先手必勝です。
まとめ：石取りゲームの必勝法・勝ち方は？勝つコツは？
石取りゲームの必勝法の法則は、以下の通りです。
石の総数が4n+1のとき（nは0を含む自然数）：「後手必勝」
石の総数が4n、4n+2、4n+3のとき（nは0を含む自然数）：「先手必勝」
最初に指定された数が4の倍数+1なら後手、それ以外なら先手を選ぶ。
石取りゲームは相手がこの法則を知らなければ、必ず知っている者が勝つことができます。必勝法を知っているプレイヤーは、戦略を立てて石を取り、常に有利な状況を作り出すことができます。
石の総数が4n+1のとき 先手が1個なら、後手は3個取る。先手が2個なら、後手は2個取る。先手が3個なら、後手は1個取る。 このようにして常に先手の手番で4n+1個残るようにする。最後の1個を先手に取らせることができる。
石の総数が4n、4n+2、4n+3のとき 先手が最初に取る数を工夫することで、常に後手の手番で4n+1個残るようにする。具体的には、先手が以下のように取れば良い。 4nなら、先手は3個取る。4n+2なら、先手は1個取る。4n+3なら、先手は2個取る。
最初に指定された数
最初に指定された数が4の倍数+1なら後手、それ以外なら先手を選ぶ。
先手を選んだ場合、最初の1手は取った後の残りの石の数が4の倍数+1になるように取る。
その後は、相手の取った石の数との和が4になるように取り続ける。
