簡単すぐ終わるかつまとめやすい数学の自由研究にはどんなテーマがあるんでしょうか？
中学生向けすぐ終わる数学の自由研究は？
数学の自由研究ですぐ終わる簡単なテーマは？
数学の自由研究1日ですぐ終わるテーマなら数学史に残る偉人の業績や数学史に残るテーマをまとめるのが一番簡単でしょう。
候補は偉人なら
オイラー
コーシー
アーベル
ガロア
ライブニッツ
など。
テーマならギリシャ三大不可能問題やアキレスと亀、フィボナッチ数列など。和算（鶴亀算、旅人算、からす算、ねずみ算など）や円周率の計算なども面白い。
あと、数え方の研究。
普通10進法を使ってるのは、おそらく人間の指の数が10本だからですね。
1ダース(12)とか、一体なぜ生まれたのか？
欧米に「25セント硬貨」のような単位が採用されてるのは何故か？
メートル法と尺貫法、インチ、ヤード法などの比較。
血液型の遺伝と確率の関係
ＡＢＯ式血液型では、細かく言うとＡ型は「ＡＡ」と「ＡＯ」の2種類、Ｂ型は「ＢＢ」と「ＢＯ」の2種類に分けられ、Ｏ型も同じ考えで「ＯＯ」と書かれます。
即ち、ＡＡ・ＡＯ・ＢＢ・ＢＯ・ＯＯ・ＡＢの6種類の血液型が存在することになります。
さて、確率を使って物事を調べるのに手っ取り早い道具は、コインです。
青いペンで、オモテに「Ａ」、ウラに「Ｏ」と書けば、遺伝子が「ＡＯ」であるお父さんが一人完成です。
赤いペンで、オモテに「Ａ」、ウラに「Ｂ」と書けば、遺伝子が「ＡＢ」であるお母さんが一人完成です。
それ以外の血液型も同様。
「ＡＯ」の人と「ＡＢ」の人が1回子作りをする行為を、コイン2枚を投げる動作にたとえます。「Ｏ」と「Ｂ」が上を向いたら、生まれてくる子は「ＢＯ」という遺伝子を持つＢ型の子ということになります。
コイン投げを100回繰り返せば、100人の子作りをしたことと同じになり、どんな血液型の人がどんな割合で生まれたかという結果を統計的にはじき出すことができます。
円周率の計算
古典的な方法だと
円周率＝円周÷直径
なので
正多角形の角を増やせば、形が円に近づくのを利用して外周÷対角線で近似していきます。
正6角形のとき、外周÷対角線=3
正8角形のとき、外周÷対角線=3.06…
正16角形のとき、外周÷対角線=3.12…
正32角形のとき、外周÷対角線=3.13…
正64角形のとき、外周÷対角線=3.14…
作図による方法は、相当大きな紙とコンパスを使ってもこのあたりが限界ですが
三角関数の半角の公式等を使えば、角が多くても計算できます。
（時間もそれなりにかかりますが・・・）
正1024角形のとき、外周÷対角線=3.1415877252799…
正1048576角形のとき、外周÷対角線=3.14159265358509…
正1073741824角形のとき、外周÷対角線=3.14159265358979…
正多角形による方法は、桁増えると計算に時間がかかりすぎるので
現在では、三角関数のテイラー展開（級数展開）を使った式が使われることが多いです。
【円周率とは】
円周率とは「円周の長さと直径の比」のことで、
円周率 ＝ 円周 ÷ 直径
で表される。
また円周率πとは、直径１の円の円周のことである。
円周率πは、無理数（分数で表すことができない）。これは背理法を用いて証明されている。方法は微積分を使い、πが分数で表せると仮定して、その矛盾を証明する。1947年にニーベンが用いた証明法が良く用いられる（大学入試レベルで使われている）。
最初にπを3.14と求めたのはアルキメデスである。
数式の表記は知恵袋に向かないので、検索して調べてください。
【円周率計算の基本となる公式】
① アルキメデスの方法（円に内接、外接する正多角形から数値を絞り込む方法）
② アークタンジェントのテイラー展開（グレゴリー級数）
③ アークタンジェントのオイラー変換
ほか
【円周率の計算方法の歴史】
１）正多角形による方法
・アルキメデスの方法：※
・ヴィエトの式：
アルキメデスの正多角形から求める方法から、フランスのヴィエトが円周率を表す公式を発見した。彼は正多角形の角数を増やしていくとき、その周の長さの増え方に規則性があることに気付いた。このことが、後の無限級数を利用して円周率を計算することにつながっていく。
※アルキメデスの方法
アルキメデスは次のように円周率を求めた。
まず、円の内側と外側に接する正多角形を描いた。円の周の長さは内接する正多角形の周の長さより長い。また、外接する正多角形の周の長さより短い。この事実から、円周の長さの近似値を計算した。
アルキメデスは最初に、円に内接する正六角形と外接する正六角形で円周率を計算した。このときの円周率の値は3＜π＜2√3となる。
円をきちんと定義すると、極限をとる操作が必要となる。つまり、多角形の角数をどんどん増やしていけばいくほど、円に近い形になる。そこでアルキメデスは、角数を12、24、48と増やしていく。最終的には正96角形を描き、円周率を求めた。そして、円周率の近似値を次のように求めた。
3＋（10／71）＜π＜3＋（1／7）
これを小数にして表すと、
3.1408…＜π＜3.1428…
となる。このことから、円周率は3.14…となり、小数点以下 2 桁まで正確に計算された。
２）級数による方法
・区分求積法
・べき級数展開
これらを行うのに必要な公式
・グレゴリー級数
・オイラー変換
17世紀にイギリスのニュートンとドイツのライプニッツにより、微分積分が発明された。
これにより円周率は級数で求められるようになった。もっともよく知られた級数による方法は、
tan（π／4）=1
から、タンジェントの逆関数アークタンジェントのテイラー展開（グレゴリー級数とも呼ばれる）である。
無限等比数列の和の公式を用い｜ｘ｜＜１であるｘに対し、０から１まで積分する（アークタンジェントのマクローリン展開）を行い、X= 1 を代入して値を得る。
これにより円周率は級数で求められるようになった。
これを用いると、関数を無限級数で表すことができる。この無限級数を利用し、円周率を計算したのがニュートンである。ニュートンは1665年に16桁まで計算した。
しかしグレゴリー級数は、そのままでは収束が極めて遅く数値計算にはまったく向いていない。たとえば、10桁の値を得るためには約100億項もの計算を必要とする。そして1755 年に、オイラー変換という収束の加速法が発明され大幅に改善される。これによりグレゴリー級数のオイラー変換が得られ、10桁の値を得るための項数はわずか30項で済むようになる。
この間に、アークタンジェント公式が生まれる。
1706 年にマチンはアークタンジェントを用いて公式を得る。アークタンジェントを用いた公式であればテイラー展開を用いて計算すれば、わずか10項程度の計算で10桁以上の値が得られる。
マチンの公式のような、アークタンジェントを使った公式はいくつかあり、1730年にクリンゲンシュティルナ 、1863年にガウス、1896年にシュテルメルなどがある。
３）算術幾何平均による方法
・算術幾何平均反復の漸化式
・楕円積分
・ルジャンドルの関係式
・サラミン・ブレントの計算式
・ボールウェインの４次収束
・モジュラー関数の理論
1947年１月、ファーガゾンが卓上計算機を使用して円周率を求めた。このとき求めたものは710桁であった。これ以降、円周率の計算はコンピュータによって桁数の更新が行われる。
1976年にサラミンとブレントは独立かつ同時に、非常に速く収束する円周率の公式を発見し、楕円積分を計算する算術幾何平均による方法と、ルジャンドルの関係式を組み合わせることで公式を得る。算術幾何平均反復とは漸化式で定義され、非常に速く収束する。この収束は、20回程度で100万桁一致し、40回程度で１兆桁一致する。
算術幾何平均を使えば計算量は、非常に少なくN桁の精度を得るための反復はlog N に比例する回数になり、必要な乗算回数もlog Nに比例する回数になる。一方、楕円積分の性質からルジャンドルの関係式が導かれ
EK’+ E’K－KK’= 定数
が導かれる。
積分定数は、テイラー展開を用いて k→0 の極限を計算してπ/２となり、ルジャンドルの関係式から、算術幾何平均を用いた円周率の計算が可能となる。
算術幾何平均と楕円積分との関係に最初に気づいたのはガウスであるといわれており、コンピュータによる計算は計算速度から、ガウスの算術幾何平均による完全楕円積分のアルゴリズムと、楕円積分に関するルジャンドルの関係式に基づく算術幾何平均アルゴリズムなどが使われ、計算のロス時間を減らすため高速フーリエ変換などを用いて計算する。
実際にコンピュータを用いての円周率の計算には２つの異なるアルゴリズムに基づく、２つのプログラムを使用して得られた結果を比較し、2つの答えが何桁まで一致するか確認する。（２つの異なる計算方法ででた結果が、何桁まで一致するか確認する方法）
