確率のPとCの違いは？
高校数学の「場合の数と確率」で順列Pと組み合わせCを習いますが違いは？
確率でP・Cの違いは？場合の数と確率で順列Pと組み合わせC｜高校数学A
「P」は順列のpermutationの頭文字です。
「C」は組合せのcombinationの頭文字です。
「P」はn個のものからr個のものを『選び、並べる』作業をします。
「C」はn個のものからr個のものを『選ぶ』作業です。
つまり「P」は「C」の延長上です。
例えばabcdの4つから2つを並べる順列と、2つを選ぶ組合せで考えてみます。
○順列P
公式:4P2=4×3=12
1つ目にaを選ぶと2つ目はbcdのどれかなので3通り。
1つ目がbcdの場合も同じく3通りずつあるので、
4×3＝12
となります。
○組合せC
公式:4C2=(4×3)/(2×1)=6
組合せは順番がないので、
abとbaはどちらもaとbを選んでいるので同じものと考えます。
他も同じのが2つずつ出てくるので、実際の組合せはちょうど2で割った数になります。
よって 12÷2＝6 です。
同じように、５人の生徒のうち１人を会長、もう１人を副会長に指名します。
このとき使うのは「P」です。
５人の生徒からまず２人を選ぶのはわかると思います。
仮にAとBが選ばれたとします。
このとき、Aが会長でBが副会長の場合とAが副会長でBが会長の場合が考えられます。
したがって、並び替える必要があるので「P」を使います。
会長、副会長のように区別する必要がある場合は「P」です。
では、上記の問いで会長、副会長の区別がなければどうでしょうか。
この場合ただ単に５人から２人を選ぶだけなので「C」になります。
また、階乗（！）をご存知でしょうか。
「P」＝「C」×「！」であるのです。
まとめ：確率でP・Cの違いは？場合の数と確率で順列Pと組み合わせC｜高校数学A
順列と組合せなので、選ぶ順番が関係あるかないかで決まります。
関係ある→P
関係ない→C
異なるｎ個のものからｒ個を取り出す方法の数が ｎＣｒ です。
異なるｎ個のものからｒ個を取り出し、
さらにそのｒ個に順番をつける方法の数が、 ｎＰｒ です。
例１
１，２，３，４，５から３つの数字を選んで『並べる』のであれば順番も関係あるので(１２３と２１３では違いますよね)
5P3通り
１，２，３，４，５から３つの数字を選ぶだけであれば順番は関係ないので(選ぶだけなので１２３と２１３は同じ選び方ですよね)
5C3通り
例２
10人の中から委員長、副委員長、書記の3人を選ぶなら、誰を委員長にするなど順番が関係するので
10P3通り
10人の中から委員を3人選ぶなら、誰から選ぼうが同じなので
10C3通り
通常は、問題文に
「選ぶ」、「組み合わせ」という言葉があれば、ｎＣｒ、
「並べる」、「順列」という言葉があれば、ｎＰｒ
と判断することが多いですが、例外もあります。
たとえば、４０人の中から、委員長、書記、会計を選ぶ場合の数は
４０Ｃ３ではなく、４０Ｐ３通りになります。
なぜなら、
選んだ３人に、委員長、書記、会計という名前をつけているからです。
これは、
選んだ３人に、１番、２番、３番という名前をつけるのと同じです。
さらにいうと、
４０人の中から３人を１列に並べたのと同じことになります。
端から１番目の人、２番目の人、３番目の人、ということになりますから。
したがって、この場合は、４０Ｐ３通りになるのです。
また、なぜ４０Ｃ３ではいけないのかというと、
４０Ｃ３で計算できるのは、
４０人の中から３人にただ出てきてもらうだけの場合、それが何通りあるか
ということだからです。
３人出てきただけでは、その中の誰が委員長で書記で会計かまでは決まりません。
一般に、ｎＣｒとｎＰｒのどちらを利用して解けばよいのかを判断するのは、
最終的には問題文をしっかり読むこと、と言うほかありません。
ただ取り出すだけでよいのならｎＣｒですし、
何らかの意味で取り出したものの間で順序をつけるのであれば、ｎＰｒです。
