連立不等式の現す領域の面積を問う問題の解き方について。
xy平面において連立不等式の表す領域Ｄの面積はどうやって求めると良いんでしょうか？
連立不等式の領域の解き方・面積の求め方
xy平面でx^2+y^2≦-2,y-x^2≧0
領域はy軸に関して対称なのでx≧0のときのみ考える。
するとx^2+y^2＝2・・・①とy＝x^2・・・②の交点は、②を①に代入することで
y＋y^2＝2
移項するとy^2＋y-2＝0
因数分解して(y＋2)(y-1)＝0
y＝x^2≧0より、y＝1
またx＞0よりx＝1と決まる。
するとx≧0における領域は
y^2＝2-x^2のy＞0の部分、すなわち
y＝√(2-x^2)と、y＝x^2で囲まれる。
積分で表すと
∫[0~1]√(2-x^2)-x^2 dx・・・③
ここでx＝√2sinθとおけば、dx/dθ＝√2cosθ
またx：0→1に対してθ：0→π/4だから
③は
∫[0~π/4]{√(2-(√2sinθ)^2)-(√2sinθ)^2} -√2cosθ dθ
＝∫[0~π/4]{√{2(1-(sinθ)^2)}-2(sinθ)^2} -√2cosθ dθ
＝∫[0~π/4]{√2cosθ-2(sinθ)^2} -√2cosθ dθ
＝∫[0~π/4]{2(cosθ)^2-2√2(sinθ)^2cosθ} dθ
＝∫[0~π/4]{2-(1＋2cosθ)/2-2√2-(1/3){(sinθ)^3}’} dθ
＝∫[0~π/4]{(1＋2cosθ)-2√2/3{(sinθ)^3}’} dθ
＝[θ＋2sinθ-2√2/6(sinθ)^3][0~π/4]
＝π/4＋2sinπ/4-2√2/6(sinπ/4)^3
＝π/4＋2-√2/2-2√2/6-(√2/2)^3
＝π/4＋√2-2√2/6-1/2√2
＝√2＋π/4-1/6
これはx≧0のみの面積で、実際はx≦0の部分も同じ面積だから
2-(√2＋π/4-1/6)
＝2√2＋π/2-1/3（答）
xy平面でy≧|x^2－1|、y≦－x^2＋2x＋3
y≧│(x^2－1)│
y≦－x^2＋2x＋3=-(x-3)(x+1)
x^2-1=-x^2＋2x＋3
2x^2-2x-4=2(x^2-x-2)=2(x+1)(x-2)=0
-1 < x < 1
S1={(-x^2＋2x＋3)-(-x^2+1)}dx={2x＋2}dx={x^2＋2x}
=4
1 < x < 2
S2={(-x^2＋2x＋3)-(x^2-1)}dx={-2x^2＋2x＋4}dx={-(2/3)x^3＋x^2＋4x}
=(7/3)
S=4+7/3=19/3
xy平面でx^2+y^2≦1, y≧x^2-1/4
まず x^2+y^2＝1、y＝x^2-1/4の 連立方程式をといて
y=1/2, x=±√３/2 面積S
S=2∫(0,√３/2)[(√(1-x^2)-(x^2-1/4)]dx
=2(∫(0,√３/2)[(√(1-x^2)dx-∫(0,√３/2)(x^2-1/4)]dx )
∫(0,√３/2)(x^2-1/4)]dx =0
∫(0,√３/2)[(√(1-x^2)dxは普通にけいさんせず、扇方と三角形
の面積の和として求め、扇形は半径１角度６０度、三角形は正三角形
の半分斜辺１
∫(0,√３/2)[(√(1-x^2)dx＝π*1^2/6+(1/2)(1/2)(√３/2)
=π/6+√３/8
S=2∫(0,√３/2)[(√(1-x^2)dx=2(π/6+√３/8)=π/3+√３/4
xy平面でx^2 + y^2 ≦ 1 、 y ≧ x^2 – ( 1/4 )
x2 + y2 = 1 と y = x2 – 1/4 の交点を求めてみます。
x2 = y + 1/4 より (y + 1/4) + y2 = 1 から
4y2 + 4y – 3 = 0, (2y + 3)(2y – 1) = 0
-1 ≦ y ≦ 1 の範囲しか取らないので y = 1/2
よって x2 = 3/4 より x = ±√3/2 です。
つまり交点は (√3/2, 1/2), (-√3/2, 1/2) なので
(cos30ﾟ, sin30ﾟ), (cos150ﾟ, sin150ﾟ) です。
よって交点の座標を A, B とすると ∠AOB = 120ﾟ
扇形AOBの面積は (π×12)×120ﾟ/360ﾟ = π/3
△AOB は AB = √3, AH = 1/2 なので
△AOBの面積は 1/2×√3×1/2 = √3/4
線分ABと y = x2 – 1/4 で囲まれる部分の面積は
∫[-√3/2→√3/2]{1/2 – (x2 – 1/4)}dx
= {√3/2 – (-√3/2)}3/6 = √3/2
よって求める面積は
π/3 – √3/4 + √3/2
= π/3 + √3/4
まとめ：連立不等式の領域の解き方・面積の求め方のコツ
連立不等式の現す領域の面積を問う問題の解き方について、コツをいくつか挙げます。
不等式を図示します。
不等式のグラフが交わる点を特定します。
交点によって、領域をいくつかの部分に分けます。
各部分の面積を求めます。
各部分の面積の和を求めます。
例えば、連立不等式x^2+y^2≦2,y-x^2≧0の表す領域の面積を求める場合、まず、不等式を図示します。
次に、不等式のグラフが交わる点を特定します。グラフが交わる点は、(0,0)と(1,1)です。
次に、交点によって、領域をいくつかの部分に分けます。領域は、半径2の円の領域と、y=x^2のグラフの下の領域に分けられます。
次に、各部分の面積を求めます。半径2の円の面積は、π・2^2=4πです。y=x^2のグラフの下の領域の面積は、グラフの両端の点(0,0)と(1,1)を結んで得られる直角三角形の面積に等しいので、1/2・1・1=1/2です。
最後に、各部分の面積の和を求めます。4π-1/2=7π/2です。
したがって、連立不等式x^2+y^2≦2,y-x^2≧0の現す領域の面積は、7π/2です。
