√2（ルート2）が無理数であることを背理法で証明の解説。
背理法なので、√2（ルート2）が有理数であると仮定して矛盾を導き出す言ことで√2（ルート2）が無理数だと証明することになります。
√2（ルート2）が無理数の証明（背理法）
√2が有理数であると仮定するとpとqを互いに素な自然数とすると、
√2 = p/q
と表すことができる。
この等式の両辺にqをかけて
q√2=p
等式の両辺を二乗して
2q^2=p^2・・・[1]
これよりp^2は2の倍数だからpも2の倍数である。
従ってp=2kとおいて[1]に代入して計算すると
q^2=2k^2
となりqも2の倍数となる。
このことはpとqが互いに素な自然数であることと矛盾する。
右辺が偶数なので左辺も偶数となる、つまりnは偶数となる。このときnとmが共通因数2を持つことになり互いに素に矛盾する。
従って背理法により√2は無理数である。
√2（ルート2）が無理数の証明（背理法）の解説
nを整数すると
「n^2が2の倍数⇒nも2の倍数」
を利用しています。
2が有理数だと仮定する。
√2が有理数なら既約分数
(これ以上約分できない分数)で
a/b
(ただしaとbは互いに共通の約数を持たない、互いに素な自然数)
とする。
√2、これを2乗すると、
2=a^2÷b^2つまり、
a^2=2×b^2である。
ここで、右辺が偶数なので左辺はもちろん偶数である。
a^2が偶数ならばaはもちろん偶数
ここでa=2c(cは自然数)とすると
4c^2=2b^2
2c^2=b^2
となり、同様にbも偶数となる。
しかしaもbも偶数だとするとこれはaとbが互いに素であることに反する。
つまり仮定である√2が有理数であることが間違っている。よって√2は無理数。
