sin^2乗＋cos^2乗=1はどのように証明できるんでしょうか？
sin2乗＋cos2乗=1の証明
三角関数の公式sin^2θ+cos^2θ=1は、ピタゴラスの定理から簡単に証明できます。
三角関数は、直角三角形の角度と辺の長さの関係を表す関数です。sinθは、直角三角形の斜辺に対する対角線の長さの比、cosθは、直角三角形の斜辺に対する底辺の長さの比です。
ピタゴラスの定理は、直角三角形の斜辺の長さは、底辺の長さと高さの長さの平方の和に等しいという定理です。
sin^2θ+cos^2θ=1を証明するために、角度θ、斜辺a、底辺b、高さcの直角三角形を考えます。
ピタゴラスの定理より「a2=b2+c2」です。また、b=acosθ、c=asinθなので「a^2= (acosθ)^2+( asinθ)^2=a^2cos^2θ+a^2sin^2θ」です。
全ての項にa^2が付いているので両辺をa^2で除くと「sin^2θ+cos^2θ=1」になります。
この証明では、sinθとcosθを、底辺と高さの比として定義しています。しかし、sinθとcosθは、斜辺に対する対角線の長さの比としても定義することができます。この場合でも、sin^2θ+cos^2θ=1は成り立ちます。
sin二乗θ＝1-cos二乗θ/2の証明
まず、三角関数の基本的な恒等式として、三角関数の2乗の和の公式を考えます。
sin^2θ + cos^2θ = 1
これは、三角形のピタゴラスの定理に由来するものです。ここから、sin^2θ = 1 – cos^2θ とも表現できます。
次に、与えられた式を証明します。
左辺: sin^2θ
右辺: 1 – cos^2θ/2
まず、右辺を展開します。
右辺 = 1 – (cos^2θ / 2)
= 2/2 – (cos^2θ / 2) (1を分母の共通項にする)
= (2 – cos^2θ) / 2
ここで、cos^2θ = 1 – sin^2θ を使って cos^2θ を置き換えます。
右辺 = (2 – (1 – sin^2θ)) / 2
= (2 – 1 + sin^2θ) / 2
= (1 + sin^2θ) / 2
これにより、右辺が (1 + sin^2θ) / 2 であることが分かりました。
これを左辺の sin^2θ と比較します。すると、左辺と右辺が同じ形になっていることが分かります。
つまり、sin^2θ = (1 + sin^2θ) / 2 です。
両辺に2を掛けて式を整理すると、
2 * sin^2θ = 1 + sin^2θ
これをさらに整理して、
sin^2θ = 1 – sin^2θ
そして、両辺に sin^2θ を足すと、
2 * sin^2θ = 1
最後に両辺を2で割ると、
sin^2θ = 1/2
したがって、与えられた式 sin^2θ = 1 – cos^2θ/2 は成り立つことが証明されました。
